Vektorite lineaarne kombinatsioon tekib siis, kui vektorit saab väljendada teiste lineaarselt sõltumatute vektorite lineaarse funktsioonina.
Teisisõnu on vektorite lineaarne kombinatsioon see, et vektorit saab väljendada teiste üksteisest lineaarselt sõltumatute vektorite lineaarse kombinatsioonina.
Nõuded vektorite lineaarsele kombinatsioonile
Vektorite lineaarne kombinatsioon peab vastama kahele nõudele:
- Et vektorit saab väljendada teiste vektorite lineaarse kombinatsioonina.
- Olgu need teised vektorid üksteisest lineaarselt sõltumatud.
Lineaarne kombinatsioon arvestuses
Põhimatemaatikas oleme harjunud sageli nägema lineaarseid kombinatsioone seda teadmata. Näiteks on rida ühe muutuja kombinatsioon teise suhtes nii, et:
Kuid juured, logaritmid, eksponentsiaalsed funktsioonid … ei ole enam lineaarsed kombinatsioonid, kuna proportsioonid ei jää kogu funktsiooni jaoks konstantseks:
Niisiis, kui me räägime vektorite lineaarsest kombinatsioonist, on võrrandi struktuur järgmine:
Kuna me räägime vektoritest ja eelmine võrrand viitab muutujatele, siis peame vektorite kombinatsiooni loomiseks muutujaid asendama ainult vektoritega. Olgu järgmised vektorid:
Niisiis võime need kirjutada lineaarse kombinatsioonina järgmiselt:
Vektorid on üksteisest lineaarselt sõltumatud.
Kreeka kiri lambda toimib parameetrina m joone üldvõrrandis. Lambda on ükskõik milline reaalarv ja kui seda ei kuvata, on selle väärtus võrdne 1-ga.
See, et vektorid on lineaarselt sõltumatud, tähendab, et ühtegi vektorit ei saa väljendada teiste lineaarse kombinatsioonina. On teada, et sõltumatud vektorid moodustavad ruumi aluse ja sõltuv vektor kuulub ka sellesse ruumi.
Rööptahukas näide
Eeldame, et meil on kolm vektorit ja me tahame neid väljendada lineaarse kombinatsioonina. Samuti teame, et iga vektor pärineb samast tipust ja moodustab selle tipu abstsissi. Geomeetriline joonis on rööptahukas. Kuna need teatavad meile, et nende vektorite moodustatav geomeetriline joon on rööptahuka abstsiss, piiritlevad vektorid joonise nägusid.
Esiteks peame teadma, kas vektorid sõltuvad lineaarselt. Kui vektorid sõltuvad lineaarselt, siis me ei saa neist lineaarset kombinatsiooni moodustada.
Kolm vektorit:
Kuidas me saame teada, kas vektorid sõltuvad lineaarselt, kui nad ei anna meile teavet oma koordinaatide kohta?
Noh, kasutades loogikat. Kui vektorid sõltuksid lineaarselt, kukuksid rööptahuka kõik küljed kokku. Teisisõnu, need oleksid ühesugused.
Seetõttu saame väljendada uut vektorit w eelmiste vektorite lineaarse kombinatsiooni tulemusena:
Vektor, mis tähistab eelmiste vektorite kombinatsiooni:
Graafiliselt:
