Kombinatorika ilma kordamiseta

Kombinatsioonita korduseta mõistetakse erinevaid komplekte, mida saab moodustada elementidega n, mis on valitud hulgast x in x. Iga komplekt peab erinema eelmisest vähemalt ühes selle elemendis (järjestus pole oluline) ja neid ei saa korrata.

Kordamata kombinatorika on statistikas ja matemaatikas tavaline. See sobib paljudesse reaalsetes olukordades ja selle rakendamine on üsna lihtne.

Võtame näiteks õpilase, kellel on nelja küsimusega eksam. Neljast küsimusest peab ta valima kolm. Mitu erinevat kombinatsiooni võiks õpilane teha? Kui pisut arutleda, näeksime (valemit tegelikult rakendamata), et õpilane saaks valida, kuidas 3 küsimusele vastata neljal erineval viisil.

• 1. komplekt: vastake küsimustele 1,2,3.
• 2. komplekt / valik: vastake küsimustele 1,2,4.
• 3. komplekt / valik: vastake küsimustele 1,3,4.
• 4. komplekt / valik: vastake küsimustele 2,3,4.

Nagu näeme, saab õpilane moodustada 4 komplekti (n) 3 elemendist (x). Seetõttu ütleb kordusteta kombinatorika meile, kuidas moodustada või rühmitada lõplik kogus andmeid / vaatlusi teatud koguse rühmadesse, ilma et ühtegi elementi oleks võimalik igas rühmas korrata. See on peamine erinevus kombinatsiooniga kordustega (elemente igas rühmas saab korrata) ja kombinatsioonil korduseta (igas rühmas ei saa ühtegi elementi korrata)

Selles näites rõhutan, et tegemist on kordusteta kombinatorikaga, kuna õpilane ei saa ühtegi küsimust rohkem kui üks kord esitada. Seetõttu ei saa komplektide elemente korrata.

Eelmisel juhul, võttes arvesse, et elementide koguarv on väike ja hulga hulk on suur, on valikuvõimaluste arv väike ja selle saab valemi rakendamata hõlpsasti järeldada. Valemi otse rakendamise korral oleks lugeja 24 (4 * 3 * 2 * 1) ja nimetaja 6 (3 * 2 * 1 * 1), millega jõuaksime arvutuseni samamoodi mõtlemata sellele, kuidas saaksime need neli küsimust kolme rühma koondada.

Kuidas arvutada kombinatorikat ilma kordusteta?

Kombinatsiooni valem ilma kordamiseta on:

Kus:

• n = Vaatluste koguarv
• x = Valitud üksuste arv

Näide kombinatoorne ilma kordamiseta

Kujutagem ette 12 sõdurist koosnevat sõjaväepolku. Armee kapten soovib moodustada 2 sõdurist koosnevad rühmad, et imbuda vaenlase joone taha erinevatesse punktidesse, mitu erinevat rühma ta võiks moodustada?

Probleemi lahendamiseks peame kõigepealt tuvastama elementide koguarvu. Sel juhul on kokku 12 sõdurit, seetõttu on meil juba oma n. Kuna kapten soovib 2-liikmelisi rühmi, teame juba, mis on meie x. Seda teades võiksime valemis asendada ja grupikombinatsioonide arv oleks 2.

• n = 12
• x = 2

Asendamisel:

Faktoori nimetajale rakendades oleks meil 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479,001,600. Nimetaja jaoks on meil 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600. Meie kombinatoriaalne arv on = 479 001 600/7 257 600 = 66.

Nagu näeme, suudab kapten moodustada nende 12 seast 66 erinevat sõduripaari.