Taylori seeria - mis see on, määratlus ja mõiste
Taylori seeria on jõudude jada, mis ulatub lõpmatuseni, kus iga liide tõstetakse eelmisele suuremale võimsusele.
Kõik Taylori seeria elemendid vastavad funktsiooni f n-ndale tuletisele, mida hinnatakse punktis a, n (n!) Faktori vahel. Ja see kõik korrutatakse x-a-ga, mis on tõstetud võimsusele n.
Formaalselt või matemaatiliselt on Taylori seerial järgmine vorm:
Taylori seeria paremaks mõistmiseks peame meeles pidama, et a on punkt funktsioonile f puutuval sirgel. Nimetatud joont võib omakorda väljendada lineaarfunktsioonina, mille kalle on sama kallakuga kui funktsioon f punktis a.
Teine aspekt, mida meeles pidada, on see, et f on punktis a diferentseeruv funktsioon n korda. Kui n on lõpmatus, on see lõpmatult diferentseeruv funktsioon.
Konkreetsel juhul, kui a = 0, nimetatakse seeriat ka McLaurini reaks.
Seeria ja Taylori polünoomi erinevus
Seeria ja Taylori polünoomi erinevus seisneb selles, et esimesel juhul räägime lõpmatust jadast, teises aga lõplikust reast.
Seega saab Taylori polünoomi defineerida kui funktsiooni polünoomi lähendust, mis on konkreetses punktis (a) diferentseeritav n korda.
Taylori sarja näited
Mõned näited Taylori seeria variatsioonidest on:
- Eksponentsiaalne funktsioon:
- Trigonomeetrilised funktsioonid:
Taylori seeria rakendused
Mõned Taylori seeria rakendused on:
- Piiride analüüs.
- Statsionaarsete punktide või toolipunktide analüüs funktsioonides.
- Rakendus L'Hopitali teoreemis (piiride lahendamiseks).
- Integraalne hinnang.
- Teatud seeriate lähenemise ja lahknemise hindamine.
- Finantsvarade ja -toodete analüüs, kui hind on väljendatud mittelineaarse funktsioonina.
