Taylori polünoom on funktsiooni polünoomi lähendusn kindlas punktis tuletatavad ajad.
Teisisõnu, Taylori polünoom on lõplik summa kohalikes tuletistes, mida hinnatakse konkreetses punktis.
Matemaatiliselt
Me määratleme:
f (x): funktsiooni funktsioon x.
f (x0): funktsioonixkonkreetses punktis x0. Ametlikult on see kirjutatud:
Fn)(x):n-funktsiooni f (x) tuletis.
Rakendused
Taylori laienemist rakendatakse tavaliselt finantsvarade ja toodete suhtes, mille hinda väljendatakse mittelineaarse funktsioonina. Näiteks lühiajalise võlaväärtpaberi hind on mittelineaarne funktsioon, mis sõltub intressimääradest. Teine näide oleks võimalused, kus nii riskitegurid kui ka kasumlikkus on mittelineaarsed funktsioonid. Sideme kestuse arvutamine on Taylori esimese astme polünoom.
Taylori polünoomnäide
Tahame leida funktsiooni f (x) Taylori lähenduse teise järjekorra punktis x0=1.
1. Koostame funktsiooni f (x) vastavad tuletised.
Sel juhul küsivad nad meilt kuni teise järjekorrani, seega koostame funktsiooni f (x) esimese ja teise tuletise:
- Esimene tuletis:
- Teine tuletis:
2. Asendame x0= 1 punktides f (x), f '(x) ja f' '(x):
3. Kui meil on tuletiste väärtus punktis x0= 1, asendame selle Taylori lähenduses:
Parandame polünoomi natuke:
Väärtuste kontrollimine
Taylori ligikaudne arv on lähemal x-le piisav0 olla väärtused. Selle kontrollimiseks asendame väärtusega x lähedased väärtused0 nii algfunktsioonis kui ka ülaltoodud Taylori lähenduses:
Kui x0=1
Algne funktsioon:
Taylori lähendamine:
Kui x0=1,05
Algne funktsioon:
Taylori lähendamine:
Kui x0=1,10
Algne funktsioon:
Taylori lähendamine:
Esimesel juhul, kui x0= 1, näeme, et nii algfunktsioon kui ka Taylori lähendamine annavad meile sama tulemuse. Selle põhjuseks on Taylori polünoomi koostis, mille oleme loonud kohalike tuletiste abil. Neid tuletisi on hinnatud konkreetses punktis x0= 1, et saada väärtus ja luua polünoom. Nii et kaugemal sellest konkreetsest punktist, x0= 1, seda vähem on lähendus algse mittelineaarse funktsiooni jaoks sobiv. Juhtudel, kui x0= 1,05 ja x0= 1.10, algfunktsiooni tulemuse ja Taylori lähenduse vahel on oluline erinevus.
Aga … vahe on ju väga väike?
Taylori polünoomide esitus
Kui laiendame äärmusi (kus lähendus liigub x-st0=1):
Esmapilgul võib see tunduda tähtsusetu, kuid graafiku kallal töötades ja lähendusi tehes on väga oluline arvestada vähemalt nelja esimese kümnendkohaga. Lähenduste aluseks on täpsus.
