Sündmuste liit on toiming, mille tulemus koosneb kõigist kordumatutest elementaarsetest sündmustest, mis on kahel või enamal hulgal ühised ja mitte ühised.
See tähendab, et arvestades kahte komplekti A ja B, moodustaksid A ja B liidu kõik mittekorduvad hulgad, millel on A ja B. Intuitiivselt tähendaks A ja B sündmuste liitumise tõenäosus reageerimist küsimus: kui suur on tõenäosus, et A tuleb välja või et B tuleb välja?
Sündmuste liidu sümbol on U. Nii, et kui tahame matemaatiliselt märgata kahe sündmuse B ja D liitumist, märkaksime seda järgmiselt: B U D.
Sündmuste liidu üldistamine
Siiani oleme näinud ja viidanud kahe sündmuse ühendamisele. Näiteks A U B või B U D. Aga mis siis, kui meil on kolm, neli ja isegi sada sündmust?
Seda me nimetame üldistuseks, see tähendab valemiks, mis aitab meil nendel juhtudel märgata sündmuste toimimise liitu. Kui meil on 8 sündmust, kasutame kümne sündmuse kirjutamise asemel järgmist tähist:
Selle asemel, et helistada igale sündmusele A, B või mis tahes tähele, helistame Jah. S on sündmus ja alaindeks i tähistab numbrit. Nii, et oleksime 10 sündmuse näitel rakendanud järgmist:
See, mida me oleme teinud, on kasutada eelmist märget ja seda edasi arendada. Nüüd pole meil seda alati vaja. Eriti kui tegemist on suure hulga üritustega.
Ühendatud ja mitteseotud sündmuste liit
Ühendatud sündmuste mõiste näitab, et kahel sündmusel pole ühiseid elemente.
Kui nad on lahus, on ürituste liit toiming lihtne. Ühe või teise sündmuse tekkimise tõenäosuse saamiseks peate lisama ainult mõlema tõenäosuse. Kui aga sündmused pole lahus, tuleb lisada väike detail. Korduvad elemendid tuleb kõrvaldada. Näiteks:
Oletame, et tulemuste ruum on vahemikus 1 kuni 5. Sündmused on järgmised:
Sündmus A: (1,2,4) -> 60% tõenäosus = 0,6
Sündmus B: (1,4,5) -> 60% tõenäosus = 0,6
Operatsioon A U B oleks intuitiivselt A ja B sündmuste liitmine, kuid kui me seda teeme, oleks tõenäosus 1,2 (0,6 + 0,6). Ja nagu tõenäosuse aksioomid näitavad, peab tõenäosus olema alati vahemikus 0 kuni 1. Kuidas me selle lahendame? Lahutades sündmuste A ja B ristmiku, st eemaldades korduvad elemendid:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Tõenäosuste poole pöördudes peame:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Tõepoolest, tõenäosus, et tuleb 1, 2 või 4 või 5. Eeldades, et kõigil numbritel on sama tõenäosus, on 80%.
Graafiliselt näeks see välja järgmine:
Sündmuse liidu atribuudid
Sündmuste liit on teatud tüüpi matemaatiline operatsioon. Mõned operatsioonitüübid on ka liitmine, lahutamine, korrutamine. Igal neist on rida omadusi. Näiteks teame, et 3 + 4 liitmise tulemus on täpselt sama kui 4 +3 liitmise tulemus. Siinkohal on ürituste liidul mitmeid omadusi, mida tasub teada:
- Kommutatiivne: See tähendab, et kirjutamise järjekord ei muuda tulemust. Näiteks:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Assotsiatiivne: Eeldusel, et on kolm üritust, pole meil vahet, kumb tuleb teha esimesena ja milline järgmisena. Näiteks:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Levitamine: Kui lisame ristmiku tüüpi toimingu, kehtib jaotav omadus. Vaadake lihtsalt järgmist näidet:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Ürituse liidu näide
Lihtne näide kahe sündmuse A ja B ühendamisest oleks järgmine. Oletame, et täiusliku matši viskamise juhtum. Stants, millel on kuus nägu numbritega 1 kuni 6. Nii, et sündmused on määratletud allpool:
TO: See on suurem kui 2. (3,4,5,6) tõenäosus on 4/6 => P (A) = 0,67
C: Las viis tulevad välja. (5) tõenäosus on 1/6 => P (C) = 0,17
Kui suur on A U C tõenäosus?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Kuna P (A) ja P (C) seda juba omavad, arvutame P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) tõenäosustes P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Lõpptulemus on:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Tõenäosus, et see veereb üle 2 või veereb 5, on 67%.