Normaaljaotus on teoreetiline mudel, mis suudab juhusliku suuruse väärtuse rahuldavaks lähendamiseks ideaalsesse olukorda.
Teisisõnu, normaaljaotus sobib juhusliku suurusega funktsioonile, mis sõltub keskmisest ja standardhälbest. See tähendab, et funktsioonil ja juhuslikul muutujal on sama esitus, kuid väikeste erinevustega.
Pidev juhuslik muutuja võib võtta mis tahes reaalarvu. Näiteks aktsiate tootlus, testitulemused, IQ ja standardvead on pidevad juhuslikud muutujad.
Diskreetne juhuslik muutuja võtab looduslikud väärtused. Näiteks üliõpilaste arv ülikoolis.
Normaaljaotus on aluseks muudele jaotustele, näiteks Studenti t-jaotusele, chi-ruutjaotusele, Fisheri F-jaotusele ja teistele jaotustele.
Normaaljaotuse valem
Võttes arvesse juhuslikku muutujat X, ütleme, et selle vaatluste sagedust saab rahuldavalt lähendada normaaljaotusele nii, et:
Kui jaotuse parameetrid on keskmine või keskväärtus ja standardhälve:
Teisisõnu ütleme, et juhusliku muutuja X sagedust saab esitada normaaljaotusega.
Esindamine
Normaalset jaotust järgiva juhusliku suuruse tõenäosustiheduse funktsioon.
Atribuudid
- See on sümmeetriline jaotus. Keskmise, mediaani ja režiimi väärtus langevad kokku. Matemaatiliselt,
Keskmine = Mediaan = Režiim
- Unimodaalne jaotus. Väärtused, mis on sagedasemad või ilmuvad tõenäolisemalt, on keskmist väärtuse lähedal. Teisisõnu, kui eemaldume keskmisest, väheneb väärtuste ilmnemise tõenäosus ja nende sagedus.
Mida on meil vaja normaaljaotuse tähistamiseks?
- Juhuslik muutuja.
- Arvutage keskmine.
- Arvutage standardhälve.
- Otsustage funktsioon, mida me tahame esindada: tõenäosustiheduse funktsioon või jaotuse funktsioon.
Teoreetiline näide
Eeldame, et tahame teada, kas testi tulemused suudavad normaaljaotust rahuldavalt ligikaudseks muuta.
Me teame, et selles testis osaleb 476 õpilast ja et tulemused võivad olla vahemikus 0 kuni 10. Arvutame vaatluste (testi tulemused) keskmise ja standardhälbe.
Niisiis, määratleme juhusliku muutuja X kui testi hinded, mis sõltuvad igast individuaalsest tulemusest. Matemaatiliselt,
Iga õpilase skoor pannakse tabelisse. Sel viisil saame tulemuste ja nende sageduse üldise nägemuse.
| Tulemused | Sagedus |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| KOKKU | 476 |
Kui tabel on koostatud, esindame uuringu tulemusi ja sagedusi. Kui graafik näeb välja nagu eelmine pilt ja vastab omadustele, saab testitulemuste muutuja rahuldavalt ligikaudsele normaaljaotusele keskmiselt 4,8 ja standardhälbele 3,09.
Kas testitulemused võivad ligikaudse normaaljaotuse anda?
Põhjused, miks arvatakse, et testitulemuste muutuja järgib normaalset jaotust:
- Sümmeetriline jaotus. See tähendab, et keskväärtusest on sama palju vaatlusi nii paremale kui vasakule. Samuti, et keskmisel, mediaanil ja režiimil on sama väärtus.
Keskmine = mediaan = režiim = 5
- Kõige sagedamini või tõenäolisemalt on vaatlused keskväärtuse ümber. Teisisõnu, väiksema sageduse või tõenäosusega vaatlused pole keskväärtusest kaugel.
Normaaljaotus kirjeldab juhuslikku muutujat ligikaudse arvuga, mis tekitab standardvead (ribad iga veeru kohal). Need vead on erinevus tegelike vaatluste (tulemuste) ja tihedusfunktsiooni (normaaljaotuse) vahel.
