Hulgateooria on matemaatika (ja loogika) haru, mis on pühendatud hulkade omaduste ja nende vahel tehtavate toimingute uurimisele.
See tähendab, et hulgateooria on komplektidele keskendunud uurimisvaldkond. Seetõttu on tema ülesandeks analüüsida nii nende omadusi kui ka nende vahelisi suhteid. See tähendab, et selle liit, ristumiskoht, täiend või muu.
Peame meeles pidama, et komplekt on elementide rühmitus, olgu need siis numbrid, tähed, sõnad, funktsioonid, sümbolid, geomeetrilised kujundid või muud.
Hulga määramiseks määratletakse tavaliselt selle elementide omadus. Näiteks hulk A täisarvude, positiivsete ja paarisarvudega alla 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Hulgateooria ajalugu
Hulgateooria ajalugu on pärit Vene päritolu saksa matemaatiku Georg Cantori tööst, keda peetakse selle distsipliini isaks.
Teemadest, mida Cantor uuris, torkab silma näiteks lõpmatu hulga ja numbrilise hulga teema.
Cantori esimene komplekt teooria kohta pärineb aastast 1874. Lisaks väärib märkimist, et tal oli sageli mõttevahetust matemaatik Richard Dedekindiga, kes aitas kaasa loodusarvude uurimisele.
Numbrikomplektid
Numbrikomplektid on erinevad rühmitused, milles numbrid liigitatakse vastavalt nende erinevatele omadustele. See on abstraktne konstruktsioon, millel on oluline rakendus matemaatikas.
Numbrilised komplektid on keerulised, kujuteldavad, reaalsed, irratsionaalsed, ratsionaalsed, täisarvud ja loomulikud ning neid saab illustreerida järgmises Venni diagrammis:
KompleksarvudKujuteldavad numbridReaalarvudIrratsionaalsed numbridRatsionaalarvudTäisarvudLooduslikud arvud
Määra algebra
Hulkade algebra hõlmab omavahelisi seoseid.
Seega paistavad silma järgmised toimingud:
- Komplektide liit: Kahe või enama komplekti liit sisaldab kõiki elemente, mis sisalduvad vähemalt ühes neist.
- Komplektide ristumiskoht: Kahe või enama hulga ristumiskoht sisaldab kõiki elemente, mis neil komplektidel on ühised või ühised.
- Määra erinevus: Ühe hulga erinevus teise suhtes on võrdne esimese hulga elementidega, millest lahutatakse teise elemendid.
- Täiendavad komplektid: Komplekti komplekt sisaldab kõiki elemente, mida selles komplektis pole (kuid mis kuuluvad teise viitekomplekti).
- Sümmeetriline erinevus: Kahe komplekti sümmeetriline erinevus hõlmab kõiki elemente, mis asuvad ühes või teises, kuid mitte mõlemat korraga.
- Dekarteesia toode: See on operatsioon, mille tulemuseks on uus komplekt. See sisaldab elementidena kahte või enamasse komplekti kuuluvate elementide järjestatud paare või järjestusi (järjestatud seeriaid). Need on järjestatud paarid, kui need on kaks komplekti, ja paarid, kui neid on rohkem kui kaks komplekti.