Sümmeetriline maatriks on järjestuse n maatriks, millel on sama arv ridu ja veerge, kus selle ülekantud maatriks on võrdne algse maatriksiga.
Teisisõnu, sümmeetriline maatriks on ruutmaatriks ja on identne maatriksiga pärast seda, kui ridu on vahetatud veergude ja veergude jaoks.
Nõuded
Et maatriks oleks sümmeetriline, peab see vastama järgmistele piirangutele:
Antud sümmeetriline maatriks P järjekorras n,
- Olles a ruutmaatriks.
Ridade arv (n) peab olema sama kui veergude arv (m). See tähendab, et maatriksi järjekord peab olema n, kui n = m.
- Algne maatriks peab olema tema võrdne ülekantud maatriks.
Demonstratsioon:
Atribuudid
- Sümmeetrilise maatriksi kõrvalmaatriks on ka sümmeetriline maatriks.
Demonstratsioon:
- Kahe sümmeetrilise maatriksi liitmisel või lahutamisel saadakse teine sümmeetriline maatriks.
Demonstratsioon:
Antud kaks sümmeetrilist maatriksit P Y T järjestusega 3 saame veel ühe sümmeetrilise maatriksi S summast.
Miks seda nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks?
Sümmeetria omaduse annavad elemendid peadiagonaali ümber. Kuna ruutmaatriks on sümmeetriline maatriks, on sellel alati põhidiagonaali kohal ja all sama arv elemente. Need elemendid on sümmeetriliselt samad. See tähendab, et peamine diagonaal toimib nagu peegel.
Maatriksi sümmeetria ja vildakuse tõendamine
Sümmeetriline maatriks
Kiri d tähistab põhidiagonaali elemente. Ülejäänud tähed tähistavad mis tahes reaalarvu. Näeme, et peamine diagonaal toimib nagu peegel: see peegeldab elemente mõlemalt poolt. Teisisõnu, kui diagonaali mõlemal küljel olevad elemendid on sümmeetriliselt võrdsed, siis ütleme, et maatriks P on sümmeetriline maatriks.
Mittesümmeetriline maatriks
Maatriks X See ei ole sümmeetriline maatriks, kuna see ei ole ruutmaatriks ja selle ülekantud maatriks erineb algsest maatriksist. Lisaks puudub sellel ka peamine diagonaal.
Identiteedimaatriks