Geomeetrilise määratlusega vektorpunkttoote

Kahe vektori skalaarkorrutis vastavalt geomeetrilisele määratlusele on nende moodulite korrutamine mõlema vektori moodustatud nurga koosinusega.

Teisisõnu, kahe vektori punktprodukt peab moodustama mõlema vektori moodulite ja nurga koosinuse korrutise.

Skalaarse toote valem

Kahe vektori korral arvutatakse punktprodukt järgmiselt:

Seda nimetatakse skalaarkorrutiseks, kuna mooduli tulemus jääb alati skalaariks, samamoodi nagu ka nurga koosinus. Selle korrutise tulemuseks on arv, mis väljendab suurust ja millel pole suunda. Teisisõnu, punktitoote tulemus on arv, mitte vektor. Seetõttu väljendame saadud arvu suvalise arvuna, mitte vektorina.

Iga vektori suuruse teadmiseks arvutatakse moodul. Niisiis, kui korrutame ühe vektori (v) suuruse teise vektori (a) suurusega mõlema moodustatava nurga koosinusega, saame teada, kui palju kaks vektorit kokku mõõdavad.

Vektori moodulit (v) korda nurga koosinust tuntakse ka kui v v projektsiooni vektorile a.

Protsess

1. Arvutage vektorite moodulid.

Arvestades mis tahes kolmemõõtmelist vektorit,

Vektori mooduli arvutamise valem on:

Iga vektori alaindeks tähistab mõõtmeid, antud juhul on vektor (a) kolmemõõtmeline vektor, kuna sellel on kolm koordinaati.

2. Arvutage nurga koosinus.

Näide kahe vektori punkt-korrutisest

Arvutage järgmiste kolmemõõtmeliste vektorite skalaarkorrutis, teades, et nende moodustatav nurk on 45 kraadi.

Skalaarse korrutise arvutamiseks peame kõigepealt arvutama vektorite mooduli:

Kui oleme arvutanud kahe vektori moodulid ja teame nurka, peame need ainult korrutama:

Seetõttu on eelmiste vektorite punkt korrutis 1,7320 ühikut.

Graafik

Järgmised vektorid näeksid kolmemõõtmelises graafikus välja järgmised:

Vektori (c) korral näeme, et z komponent on null, seega on see abstsissiteljega paralleelne. Selle asemel on vektori (b) z komponent positiivne, nii et näeme, kuidas see ülespoole kaldub. Mõlemad vektorid on komponendi osas positiivsete kvadrandis, kuna see on positiivne ja sama.