Fraktaalgeomeetria on see geomeetria haru, mis uurib fraktaale. Need on keerulised objektid, mille struktuur kordub, kui vaatleme seda erinevates mõõtkavades.
Teisisõnu koosneb fraktalidest osad, mis on tervikuga sarnased ja ebakorrapärased struktuurid. Mõelgem brokkolipeale, mis selle jagamisel jaguneb mitmeks väiksemaks brokoliks.
Fraktaalgeomeetria sündis vajadusest paremini reaalsusele läheneda, kuna tasapinna geomeetria ning kosmoseuuringute kujundite ja kehade geomeetria, mida looduses väga vaevalt leiame.
Mõelge, et mäed ei ole koonused ja isegi Egiptuse püramiidide pinnal on nende ebatasasusi, kui neid tähelepanelikult vaadata. Neid puudusi nimetatakse kareduse kvaliteediks ja see on omadus, mis lisab fraktaalgeomeetriat objektidele, millel pole enam ainult ümbermõõtu, pindala ja mahtu.
Fraktaalgeomeetria päritolu
Fraktaalgeomeetria päritolu on rajanud matemaatik Benoit Mandelbrot, samuti tema suurim kirjandusteos: "Looduse fraktali geomeetria", mis ilmus 1982. aastal.
Sõna fraktaal pärineb ladinakeelsest sõnast "fractus", mis tähendab katkist või murdunud, ja selle lõi Mandelbrot 1975. aastal.
Väärib mainimist, et kuigi Mandelbrot vormistas fraktaalökonoomika uuringu, ei märganud ta esimesena fraktaalide olemasolu looduses. Näiteks kui vaatame tuntud Jaapani maalikunstniku Katsushika Hokusai loomingut, näeme, et seda kontseptsiooni rakendati (ja Mandelbrot ise mainis seda ühes intervjuus). Näiteks maalil "Suur laine" jälgime, kuidas laine sees on teisi väiksemaid laineid.
Fraktaali omadused
Fraktaali peamised omadused on järgmised:
- Enese sarnasus: See viitab sellele, mida oleme juba varem maininud. Kui vaatame fraktaali osa suuremas ulatuses (lähemalt), näeb see välja sama mis kogu objekt. See tähendab, et osa sarnaneb tervikuga, kuigi see pole alati täpselt tõsi. Kujutame näiteks ette rombi, mis koosneb paljudest väikestest rombidest. Kuigi nende rombide suurus varieerub veidi, oleks see siiski fraktaal.
- Fraktali mõõde ei ole võrdne topoloogilise mõõtmega: Topoloogilise mõõtme selgitamiseks kujutame ette, et meil on võrkudeks jaotatud tasapind nagu võrk. Nii et ma joonin joone, mis läbib 2 ruudustikku. Kui jagaksin kõik võrgusilma võrgud kaheks, läheks joon läbi 4 võre. See tähendab, et see korrutatakse 2-ga, mis võrdub reduktoriteguriga (2), mis on tõstetud 1-ni (2 = 21), mis on üleliigset väärt, on joone mõõtmete arv. Kui nüüd on meil hulknurk, kahemõõtmeline kuju, siis juhtub midagi sarnast. Näiteks kui meil on ruut, mis ulatub neljast ruudustikust ja rakendame uuesti vähendustegurit 2, ulatub ruut 16 ruudustikku. See tähendab, et võrkude (4) arv korrutatakse 4-ga, mis on 2 tõstetud 2-le (2 = 22), kusjuures eksponent on ruutude mõõtmete arv. Kõik ülaltoodud ei vasta aga fraktaalidele.
- Neid ei saa ühelgi hetkel eristada: See tähendab matemaatilises mõttes, et kujutatud funktsiooni tuletist ei saa arvutada. Visuaalselt tähendab see, et graafik ei ole pidev, vaid sellel on tipud, seega ei ole tuletamist võimalik teha.
Fraktaalgeomeetria rakendamine
Fraktali geomeetriat saab rakendada erinevates valdkondades. Näiteks oli Lewis Fry Richardson 1940. aastal täheldanud, et erinevad piirid riigi ja riigi vahel muutusid sõltuvalt mõõteskaalast. See tähendab, et kui me mõõdame geograafilist kontuuri, siis tulemus erineb sõltuvalt kasutatava joonlaua pikkusest. See oli viide Mandelbrotile oma 1967. aasta ajakirjas Science avaldatud artiklis: "Kui pikk on Suurbritannia rannik?"
Seda saab seletada, kui võtame arvesse, et geograafilised territooriumid on fraktaalid ja kui näeme neid laiemas plaanis, näeme rohkem ebakorrapärasusi.
Fraktaalgeomeetria teine rakendus on seismiliste liikumiste ja börsil liikumise analüüs.
Lisaks peame tunnistama, et fraktaalid on olnud inspiratsiooniks sellistele artistidele nagu eelmainitud Hokusa, ja meil on ka Jackson Pollocki juhtum.