Kolmnurga barycenter - mis see on, määratlus ja mõiste
Kolmnurga raskuskese on punkt, kus figuuri mediaanid lõikuvad. Seda tuntakse ka tsentroidina.
Tuleb meeles pidada, et mediaan on segment, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga. Seega on igal kolmnurgal kolm mediaani.
Näiteks ülaltoodud kolmnurgas on raskuskese punkt O, mediaanideks on segmendid AF, BD ja CE.
Raskuskeskme oluline omadus on see, et selle kaugus igast tipust on kaks korda suurem kui vastaskülg.
Selle paremaks selgitamiseks võib igas mediaanis eristada kahte osa:
- Kaugus tipust raskuskeskmeni, mis on 2/3 mediaani pikkusest
- Ülejäänud 1/3, mis on kaugus raskuskeskmest vastaskülje keskpunktini.
Näiteks ülaltoodud pildil on tõsi, et:
Kuidas leida kolmnurga raskuskese
Kolmnurga raskuskeskme leidmiseks peame arvestama, et teades kolmnurga kolme tipu koordinaate, vastavad raskuskeskme koordinaadid selle aritmeetilisele keskmisele. Oletame, et tipud on:
Seejärel oleksid raskuskeskme koordinaadid, mida nimetame O-ks:
Nüüd on võimalik leida ka raskuskese, kui meil on sirgete võrrandid, mis sisaldavad vähemalt kahte mediaani.
Tuletame meelde, et analüütilises geomeetrias saab joont väljendada esimese järgu algebralise võrrandina järgmiselt:
y = xm + b
Näidatud võrrandis on y koordinaattelje (vertikaalne) koordinaat, x abstsisstelje (horisontaalne) koordinaat, m on kalle (kalle), mis moodustab abstsisstelje suhtes joone, ja b on punkt, kus sirge ristub ordinaatteljega.
Ülaltoodu paremaks mõistmiseks vaatame ühte näidet.
Raskuskeskme näide
Oletame, et meil on kolmnurk, millest teame kahte selle tippu:
A (0,4) ja B (-2,1)
Nüüd on veel teada, et tipu A vastas asuva külje keskpunkt on (3,1) ja tipu B vastas asuva külje keskpunkt on (4, 2,5). Tasub selgitada, et kasutame semikooloni, et mitte segi ajada komasid, mis eraldavad kümnendkohti.
Kõigepealt leiame tipust A algava mediaani sisaldava joone võrrandi, võttes arvesse, et kalle ühest punktist teise liikumisel peab alati olema sama. Kalle on horisontaaltelje varieerumise vaheline vertikaaltelje variatsioon:
Oletame, et sirge läbib punkti (x1, y1), mis on tipp A (0, 4), ja läbi punkti (x2, y2), mis on selle vastaskülje keskpunkt (3, 1).
Seejärel teeme sama tipu B (-2,1) ja selle vastaskülje keskpunktiga (-4, -2,5):
Järgmine samm võrdsustame X-telje väärtuse lahendamiseks leitud kahe võrrandi parema külje, kui mõlemad langevad kokku:
Siis lahendame mistahes võrrandi y väärtuse leidmiseks:
Seetõttu on kolmnurga raskuskese punkt (2,2) ristküliku tasapinnal.
