Tšebõševi ebavõrdsus on statistikas kasutatav teoreem, mis annab konservatiivse hinnangu (usaldusintervall) tõenäosusele, et lõpliku dispersiooniga juhuslik muutuja on matemaatilisest ootusest või keskmisest teatud kaugusel.
Selle ametlik väljend on järgmine:
X = hinnanguline väärtus
µ = hinnangulise väärtuse matemaatiline ootus
Ϭ = oodatava väärtuse standardhälve
k = standardhälvete arv
Alustades sellest üldavaldisest ja arendades seda osa, mis jääb absoluutväärtuse piiridesse, oleks meil järgmine:
Kui pöörame tähelepanu eelmisele avaldisele, on näha, et vasakule jääv osa ei ole suurem kui a usaldusvahemik. See pakub meile hinnangulise väärtuse nii alumist kui ka ülemist piiri. Seetõttu ütleb Tšebõševi ebavõrdsus meile minimaalse tõenäosuse, et populatsiooni parameeter jääb teatud keskmistest suuremate või väiksemate standardhälvete piiresse. Või teisiti öeldes annab see tõenäosuse, et populatsiooni parameeter jääb selle usaldusvahemiku piiridesse.
Tšebõševi ebavõrdsus annab hinnangulise väärtuse ligikaudsed piirid. Hoolimata teatavast ebatäpsusest, on see väga kasulik teoreem, kuna seda saab rakendada paljudele juhuslikele muutujatele, olenemata nende jaotustest. Ainus piirang selle ebavõrdsuse kasutamiseks on see, et k peab olema suurem kui 1 (k> 1).
Matemaatiline ebavõrdsusNäide Tšebõševi ebavõrdsuse rakendamisest
Oletame, et oleme investeerimisfondi valitsejad. Meie hallatava portfelli keskmine tootlus on 8,14% ja standardhälve 5,12%. Näiteks selleks, et teada saada, milline protsent meie tootlusest on vähemalt 3 standardhälvet meie keskmisest tasuvusest, rakendaksime lihtsalt eelmist avaldise 2 valemit.
k = 1,96
K väärtuse asendamine: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
See tähendab, et 73,9% tulemustest on usaldusvahemikus, mis asub 1,96 standardhälbe juures keskmisest.
Teeme eelmise näite muude väärtuste jaoks kui k.
k = 2,46
k = 3
K väärtuse asendamine: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
K väärtuse asendamine: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Andmeid on 83,5%, mis jäävad 2,46 standardhälbe ja keskmise 88,9% kaugusele keskmisest.
Tšebõševi ebavõrdsust kasutades on lihtne järeldada, et mida suurem on K väärtus (seda suurem on hinnangulise väärtuse hälve selle keskmisest), seda suurem on tõenäosus, et juhuslik muutuja jääb piiratud intervalli.
KurtoosKeskpiiri teoreemEbavõrdsus