Eksponentsiaalne funktsioon on pideva liitmise aluseks, mis tuleneb ühendi segamise huvi arvutamise sageduse lõpmatu (kui p kipub lõpmatusse) suurendamise tagajärjel.
Teisisõnu on eksponentsiaalfunktsioon liitühend, kus intressiarvutuste vahelised ajavahemikud on lõpmata väikesed (väga väikesed).
Eksponentsiaalfunktsiooni valem on:
Pidevat liitmist võib väljendada järgmiselt:
Mõistlikud sarnasused pideva suurtähtede ja eksponentsiaalfunktsiooni vahel, eks?
Määratleme pideva suurtähtede muutujad:
- Ct + 1: kapital ajahetkel t + 1 (hiljem).
- Ct: kapital ajahetkel t (praegune).
- it: intressimäär ajahetkel t.
- p: liitmise sagedus või perioodilisus.
- t: aeg.
Rakendused
Rahanduses leiame eksponentsiaalse funktsiooni tulevase tulu pideva kapitaliseerimise valemis ja mõnedes ökonomeetrilistes regressioonides.
Majandusteaduses pole see nii populaarne, sest enamik mikro- ja makromajanduslikke mudeleid eeldavad oma tootmistegurite marginaalse tootluse vähenemist. Järelikult eeldavad nad, et tegurid järgivad logaritmilist tagasitulekut ja seetõttu pöörduvad tagasi vastupidiselt eksponentsiaalsele funktsioonile.
Eksponentsiaalse funktsiooni näide
Eeldame, et oleme Ameerika investor, kes soovib Venezuelas Pico Bolívarisse rajada suusaraja. Esialgne investeering on 100 miljonit dollarit aasta intressimääraga 100%. Sellel investoril on piisavalt läbirääkimisjõudu, et määrata kindlaks tema investeeringult intressi arvutamise perioodilisus.
Millist alternatiivi eelistab Ameerika investor?
Küsimusele vastamiseks peame kapitali õigeaegselt arvutama t + 1 (Ct + 1), mille investor saab.
Saadaval teave:
Ct: 100 miljonit dollarit
it: 100%
t: 1 (iga-aastane)
Ct + 1: ?
| Alternatiivne | TO | B | C | D | JA | F |
| Perioodilisus | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Asendame kahes valemis oleva teabe (funktsioon exp. Ja pidev suurtähtede kasutamine)
Andmeid käsitleme MM-i vältides.
Jagame (Ct + 1) 100 kohta eksponentfunktsioonis, et välistada kapitali mõju. Sel viisil liigutame koma kaks kohta edasi. Järelikult on see efekt nähtav järgmistes tulemuste veergudes.
Tulemused:
| Valem | Pidev liitmine | Eksponentsiaalne funktsioon |
| Perioodilisus (p) või (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Kui n või p kipuvad lõpmatusse, antud juhul alates 10 000 000, näeme, et väärtused koonduvad konkreetse arvu korral. Pideva liitmise korral on see 271,8281 ja eksponentsiaalse funktsiooni korral 2,718281. Kaks seeriat lähenevad üksteisele ja.
Vastus treeningule on lahendatud
Millise alternatiivi lõpuks valib Ameerika investor, kui mitme perioodilisuse hulgast on kapital t + 1 (Ct + 1) kioskites kindla väärtusega?
- Kui see investor käsitleb kapitali diskreetse muutujana, valib ta alternatiivi D. Kuna alternatiivist C on kapital t + 1 (Ct + 1) läheneb 271 miljoni dollarini.
- Kui see investor käsitleb kapitali pideva muutujana, valib ta suurema perioodilisusega alternatiivi. Sel juhul alternatiiv F. Isegi kui see jõuab väärtuseni lähenemiseni, võtab investor arvesse kõiki kümnendkohti.
See lähenemine tähendab, et kapital t + 1 juures (Ct + 1), mis on arvutatud pideva liitvalemi või eksponentsiaalse funktsiooni abil, järgib vähenevat marginaalset tootlust. Teisisõnu: (Ct + 1) saab väljendada logaritmilise funktsioonina.
Skeemiliselt:
- Perioodilisus = eksponentsiaalfunktsioon.
- Kapital kuni t + 1 (Ct + 1) = logaritmiline funktsioon.
Graafiline esitus
Graafikul näete, kuidas lõpmatult pidev eksponentsiaalfunktsioon kasvab palju kiiremini kui piiratud pidev suurtähtede kasutamine. Kui räägime pidevast suurtähtede kasutamisest, siis viidame mingile liit-suurtähtede kasutamisele, kuid suurema perioodilisusega, kuna tegelikkuses on võimatu huvisid lõpmatult suurtähtedes kasutada. Ma mõtlen, et me ei saa iga sekundit ära kasutada.
