Maatriksite lineaarne teisendamine on lineaarsed toimingud maatriksite kaudu, mis muudavad antud vektori algmõõdet.
Teisisõnu, saame muuta vektori mõõdet, korrutades selle mis tahes maatriksiga.
Lineaarsed transformatsioonid on maatriksi vektorite ja omaväärtuste alus, kuna need sõltuvad üksteisest lineaarselt.
Soovitatavad artiklid: toimingud maatriksite, vektorite ja omaväärtustega.
Matemaatiliselt
Määratleme maatriksiC ükskõik milline mõõtmest 3 × 2 korrutatud mõõtme vektoriga Vn = 2 selline, et V = (v1, v2).
Millisest mõõtmest saab tulemusvektor?
Maatriksi korrutisest tulenev vektorC3×2vektorigaV2×1saab dimensiooni 3 uueks V 'vektoriks.
See vektori mõõtme muutus on tingitud maatriksi kaudu toimuvast lineaarsest transformatsioonist C.
Praktiline näide
Arvestades ruutmaatriksitR mõõtmetega 2 × 2 ja vektorigaV 2. mõõtmest.
Vektori mõõtme lineaarne teisendamineV see on:
kus vektori algmõõt V oli 2 × 1 ja nüüd vektori lõplik mõõde Sa näed3 × 1. See dimensiooni muutus saavutatakse maatriksi korrutamisega R.
Kas neid lineaarseid teisendusi saab graafiliselt esitada? No muidugi!
Esitame tulemusvektorit V 'tasapinnas.
Siis:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Graafiliselt
Graafilist esitust kasutavad omavektorid
Kuidas saame graafi vaadates kindlaks teha, et vektor on antud maatriksi omavektor?
Me määratleme maatriksiD mõõtmed 2 × 2:
Kas vektorid on v1= (1,0) ja v2= (2,4) maatriksi omavektorid D?
Protsess
1. Alustame esimese vektoriga v1. Teeme eelmise lineaarse teisenduse:
Nii et kui vektor v1 on maatriksi omavektor D, saadud vektor v1Ja vektor v1nad peaksid kuuluma samasse ritta.
Me esindame v1 = (1,0) ja v1’ = (3,0).
Kuna mõlemad v1nagu V1’Kuulub samasse ritta, v1 on maatriksi omavektor D.
Matemaatiliselt on konstanth(omaväärtus) nii, et:
2. Jätkame teise vektoriga v2. Kordame eelmist lineaarset teisendust:
Nii et kui vektor v2 on maatriksi omavektor D, saadud vektor v2Ja vektor v2 need peaksid kuuluma samale joonele (nagu ülaltoodud graafikul).
Me esindame v2 = (2,4) ja v2’ = (2,24).
Kuna v2 ja V2’Ei kuulu samasse ritta, v2 ei ole maatriksi omavektor D.
Matemaatiliselt pole konstantih(omaväärtus) nii, et:
