Gaussi-Markovi teoreem on eelduste kogum, mille OLS (Ordinary Least Squares) hindaja peab täitma, et teda saaks pidada ELIO-ks (Optimal Linear Unbiased Estimator). JAGaussi-Markovi teoreemi sõnastasid Carl Friederich Gauss ja Andrei Markov.
Carl Friederich Gauss ja Andréi Márkov esitasid mõned eeldused, et OLS-i hinnangust saaks ELIO.
Kui need 5 eeldust on täidetud, võime kinnitada, et hinnanguline on kõigi lineaarsete ja erapooletute hinnangute minimaalse variatsiooniga (kõige täpsem). Juhul, kui mõni esimese kolme eeldusest ebaõnnestub (lineaarsus, null-keskmine eksogeensus nullis või täiuslik multikollineaarsus puudub), pole OLS-i hinnang enam erapooletu. Kui ebaõnnestub ainult 4 või 5 (homosembastilisus ja autokorrelatsiooni puudumine), on hindaja endiselt lineaarne ja erapooletu, kuid see pole enam kõige täpsem. Kokkuvõttes väidab Gaussi-Markovi teoreem, et:
- Eelduste 1, 2 ja 3 kohaselt on OLS-i hinnanguline lineaarne ja erapooletu. Nüüd, kui esimesed kolm eeldust on täidetud, saab tagada, et hinnanguline on erapooletu. Hindaja järjepidevuse tagamiseks peab meil olema suur valim, seda rohkem, seda parem.
- Eelduste 1, 2, 3, 4 ja 5 kohaselt on OLS-i hinnanguline lineaarne, erapooletu ja optimaalne (ELIO).
Gaussi-Markovi teoreemi eeldused
Täpsemalt on 5 eeldust:
1. Lineaarne mudel parameetrites
See on üsna paindlik oletus. See võimaldab kasutada huvipakkuvate muutujate funktsioone.
2. Tühi keskmine ja range eksogeensus
See tähendab, et selgitustest sõltuva vea keskmine väärtus on võrdne tingimusteta eeldatava väärtusega ja võrdub nulliga. Lisaks nõuab range eksogeensus, et mudeli vead ei oleks korrelatsioonis ühegi tähelepanekuga.
Keskmine tähendus:
Range eksogeensus:
Keskmine ja range eksogeensus ebaõnnestuvad, kui:
- Mudel on halvasti täpsustatud (näiteks asjakohaste muutujate väljajätmine).
- Muutujates on mõõtmisvead (andmeid pole üle vaadatud).
- Aegridades ebaõnnestub range eksogeensus viivitatud endogeensuse mudelites (kuigi samaaegne eksogeensus võib eksisteerida) ja juhtudel, kui on tagasisideefekte.
Ristlõikeandmetes on eksogeensuse eelduse saavutamine palju lihtsam kui aegridade puhul.
3. Täpset multikollineaarsust pole
Valimis pole ükski selgitavatest muutujatest konstantne. Selgitavate muutujate vahel pole täpseid lineaarseid seoseid. See ei välista muutujate vahelist (mitte täiuslikku) korrelatsiooni. Kui mudelil on täpne multikollineaarsus, on see Gaussi ja Markovi sõnul enamasti tingitud analüütiku veast.
4. Homosedastilisus
Vea ja seega ka Y dispersioon on sõltumatu selgitavatest väärtustest ja lisaks pideva vea dispersioonist. Matemaatiliselt väljendatakse seda järgmiselt:
Siin on rida homoscedastilise välimusega andmeid.
5. Autokorrelatsioon puudub
X-st sõltuvate kahe erineva vaatluse veaterminid pole omavahel seotud. Kui proov on juhuslik, siis autokorrelatsiooni ei toimu.
Kui mul peab olema h erinev väärtus. Kui valim on juhuslik, on andmed ja vaatlusvead "i" ja "h" sõltumatud mis tahes vaatluspaari "i" ja "h" korral.
