Binomiaaljaotus - mis see on, määratlus ja mõiste
Binoomjaotus on diskreetne tõenäosusjaotus, mis kirjeldab õnnestumiste arvu juhusliku muutujaga n sõltumatu katse läbiviimisel..
Selle tõenäosusjaotuse all saab iseloomustada väga erinevaid katseid või sündmusi. Kujutage ette mündivisket, kus me defineerime sündmuse "peaga löömise" kui õnnestumist. Kui viskame münti 5 korda ja loeme saadud tabamused (pead), sobiks meie tõenäosusjaotus binoomjaotusega.
Seetõttu mõistetakse binoomjaotust katsete või katsete jadana, kus meil võib olla ainult 2 tulemust (edu või ebaõnnestumine), edu on meie juhuslik muutuja.
Binoomjaotuse omadused
Juhusliku muutuja binoomjaotuse järgimiseks peab see vastama järgmistele omadustele:
- Igas katses, katses või testis on võimalik ainult kaks tulemust (õnnestumine või ebaõnnestumine).
- Edu tõenäosus peab olema konstantne. Seda tähistab täht p. Mündi pea pööramise tõenäosus on 0,5 ja see on konstantne, kuna münt ei muutu igas katses ja peade tõenäosus on konstantne.
- Samuti peab rikke tõenäosus olema konstantne. Seda tähistab täht q = 1-p. On oluline märkida, et selle võrrandi abil, teades p või q, võime saada puuduva.
- Igas katses saadud tulemus ei sõltu eelmisest. Seetõttu ei mõjuta igas katses toimuv järgmist.
- Sündmused välistavad üksteist, see tähendab, et nad ei saa mõlemad toimuda korraga. Ei ole võimalik olla mees ja naine korraga või et münti visates tuleb see korraga nii peast kui sabast välja.
- Sündmused on üheskoos ammendavad, see tähendab, et vähemalt üks kahest peab toimuma. Kui te pole mees, olete naine ja kui viskate mündi, siis kui see ei tule pähe, peavad need olema sabad.
- Binoomjaotust järgiv juhuslik muutuja on tavaliselt tähistatud kui X ~ (n, p), kus n tähistab katsete või katsete arvu ja p õnnestumise tõenäosust.
Binoomjaotuse valem
Normaaljaotuse arvutamiseks on valem:
Kus:
n = katsete arv
x = õnnestumiste arv
p = õnnestumise tõenäosus
q = rikke tõenäosus (1-p)
Oluline on märkida, et nurksulgudes olev avaldis ei ole maatriksavaldus, vaid on kombinatsiooni tulemus ilma kordusteta. See saadakse järgmise valemiga:
Eelmises avaldises olev hüüumärk tähistab faktoriaalsümbolit.
Binomiaaljaotuse näide
Kujutame ette, et 80% maailma inimestest on viimase jalgpalli maailmameistrivõistluste finaalmängu näinud. Pärast sündmust kohtuvad vestlusringis neli sõpra. Kui suur on tõenäosus, et 3 neist on mängu näinud?
Määratleme katse muutujad:
n = 4 (on kogu meie valim)
x = õnnestumiste arv, mis antud juhul on võrdne 3-ga, kuna otsime tõenäosust, et 4-st sõbrast 3 on seda näinud.
p = õnnestumise tõenäosus (0,8)
q = rikke tõenäosus (0,2). See tulemus saadakse lahutades 1-p.
Pärast kõigi muutujate määratlemist asendame valemis lihtsalt.
Faktooriumi lugeja saadakse korrutades 4 * 3 * 2 * 1 = 24 ja nimetajal oleks meil 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Seega oleks faktori tulemus 24/6 = 4 .
Väljaspool konsooli on meil kaks numbrit. Esimene oleks 0,8 3 = 0,512 ja teine 0,2 (kuna 4-3 = 1 ja kõik arvud, mis on tõstetud 1-ni, on samad).
Seetõttu oleks meie lõpptulemus: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Kui korrutada 100-ga, on tõenäosus 40,96%, et 4-st sõbrast 3 on näinud MM-finaalmängu.
