Määra algebra - mis see on, määratlus ja mõiste

Hulgalgebra on matemaatikas ja loogikas uuritav ala, mis on keskendunud toimingutele, mida saab komplektide vahel teha.

Hulgalgebra on osa sellest, mida me teame hulgateooriana.

Tuleb meeles pidada, et komplekt on mitmesuguste elementide, näiteks tähtede, numbrite, sümbolite, funktsioonide, geomeetriliste kujundite, rühmitus.

Määra toimingud

Peamised toimingud komplektidega on järgmised:

• Liit: Kahe või enama hulga liit sisaldab kõiki elemente, mis kuuluvad vähemalt ühte neist komplektidest. Seda tähistab täht U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Ristmik: Kahe või enama hulga ristumiskoht sisaldab elemente, mida need komplektid jagavad. Seda tähistab tagurpidi U (∩). Näide:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Erinevus: Ühe hulga erinevus teise suhtes on võrdne esimese hulga elementidega, millest lahutatakse teise elemendid. Seda tähistab sümbol või -. Vaadatud muul viisil, x ∈ a A B, kui x ∈ A, kuid x ∉ B. Näide:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Täiendada: Komplekti komplekt sisaldab kõiki elemente, mida selles komplektis pole (kuid mis kuuluvad teise universaalsesse viitekomplekti). Seda tähistab ülaindeks C. Näide:

A = (3,9,12,15,18)

U (Universum) = kõik 3 korrutised, mis on täisarvud alla 30.

TO^C=(6,21,24,27)

• Sümmeetriline erinevus: Kahe komplekti sümmeetriline erinevus hõlmab kõiki elemente, mis asuvad ühes või teises, kuid mitte mõlemat korraga. See tähendab, et see on komplektide liit, millest lahutatakse nende ristumiskoht. Selle sümbol on Δ. Näide:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Dekarteesia toode: See on toiming, mille tulemuseks on uus komplekt, mis sisaldab elementidena kahele või enamale komplektile kuuluvate elementide järjestatud paare või hulgi (järjestatud seeriaid). Need on järjestatud paarid, kui see on kaks komplekti, ja paarid, kui meil on rohkem kui kaks komplekti. Näide:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Hulgalgebra seadused

Seadistatud algebra seadused on järgmised:

• Idempotentsus: Hulga liitmine või ristumine iseendaga annab sama hulga:

XUX = X

X∩X = X

• Kommutatiivne: Tegurite järjestus ei muuda tulemust komplektide liidu või ristumiskoha leidmisel:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Levitamine: Hulga X liitumine kahe teise hulga Y ja Z lõikumispunktiga on võrdne X ja Y liitumise ristmikuga X ja Z ühendusega. See on:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Veelgi enam, sama kehtib ka siis, kui muudame toimingute järjekorra:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Assotsiatiivne: Mitme hulga liitmise või ristumise operatsiooni tingimusi saab rühmitada ebaselgelt, saades alati sama tulemuse:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Morgani seadus: Kahe hulga liidu täiend on võrdne nende täiendite lõikumispunktiga ja kahe hulga ristumiskomplekt on võrdne nende täiendite liitumisega.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUu^C

• Erinevuste seadus: Ühe hulga erinevus teise suhtes on võrdne esimese ristumisega teise täiendiga:

(X-Y) = X∩Y^C

• Täiendada seadusi:
  • Hulga liitumine selle täiendiga ei võrdu universaalse komplektiga. XUX^C= U
  • Hulga ristumine selle täiendiga on võrdne null- või tühjahulgaga. X∩X^C=∅
  • Hulga X komplemendi täiend on võrdne hulga X. (X^C)^C= X
  • Universaalse hulga täiend on võrdne null- või tühikomplektiga. X^C=∅
  • Tühja hulga täiend on võrdne universaalse komplektiga. ∅^C= U

• Imendumisseadused:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C∩Y) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y