Peterburi paradoks - mis see on, määratlus ja mõiste

Peterburi paradoks on paradoks, mida täheldas Nicolaus Bernoulli ja millel on oma põhjus hasartmängudes osalemiseks. See paradoks ütleb meile, et otsustusteoorias lubatakse kõik panused, olenemata nende väärtusest, isegi kui nimetatud väärtus näitab meile, et see pole ratsionaalne otsus.

Peterburi paradoks oli meie jaoks õigesti mõistmiseks paradoks, mille kirjeldas Nicolaus Bernoulli pärast hasartmängude vaatlemist, mistõttu see paradoks on olemas.

Selles mõttes ütleb paradoks meile, et sõnastatud otsuste teooria näitab meile, et ratsionaalne otsus kihlveomängus on kõik, olenemata summast, mida iga panus eeldab. Kuid seda olukorda õigesti analüüsides ja teooriale täpselt tähelepanu pöörates täheldame, et ükski ratsionaalne olend ei otsustaks teha panust lõpmatuse lähedasele rahasummale, kuigi teooria näitab, et see on ratsionaalne. Sel põhjusel tekib paradoks.

Esialgu täheldab paradoksi Nicolaus Bernoulli, nagu see ilmneb tema 9. septembril 1713 Prantsuse aristokraadile ja matemaatikule Pierre de Montmortile saadetud kirjas.

Kuid kuna Nicolausi uuring ei andnud tulemusi, esitas ta paradoksaalsuse 1715. aastal Hollandi päritolu matemaatikule ja Baseli ülikooli rektorile oma nõbule Daniel Bernoullile, kes kohtus Peterburis silmapaistva teadlaste rühmaga ja pärast seda. aastat kestnud uurimistöö, mis avaldas 1738. aastal oma töös „Uue teooria eksponeerimine riskide mõõtmisel” uue mõõtesüsteemi.

Danieli pakutud mudel, erinevalt Nicolausi pakutavast, paneb aluse sellele, mis hiljem täpsustab ja täiendab eeldatava kasulikkuse teooriat.

Peterburi paradoksvalem

Nicolaus Bernoulli nõbu ja Pierre de Montmortile pakutud sõnastus on järgmine:

Kujutame ette hasartmängu, milles mängija peab osalemiseks ilmselt summa maksma.

Oletame, et mängija panustab sabadele ja viskab münti järjest sabani. Pärast sabasid mäng peatatakse ja mängija saab $ 2 n.

Seega, kui sabad, võidab mängija kõigepealt 2 1, mis on 2 dollarit. Kuid kui sabad jälle, saab see 2 2, mis on 4 dollarit jne. Kui see uuesti välja tuleb, on see 8 dollarit, mis võrdub 2 3-ga; kui neljas kord välja tuleb, on auhinnaks 16 dollarit, mis on esindus 2 4.

Seega oli Nicolausi küsimus järgmine: kui arvestada ülalnimetatud järjestust ja kasumit, kui palju oleks mängija nõus selle mängu eest maksma, kaotamata ratsionaalsust?

Näide Peterburi paradoksist

Arvestades Nicolausi pakutud sõnastust ja kahtlust, mille ta esitas prantsuse matemaatikule ja tema nõbule, näeme näitena selle paradoksi põhjust, et mõista, mida me mõtleme.

Kõigepealt peame teadma, et enne mängu algust on meil lõpmatu arv võimalikke tulemusi. Noh, isegi kui tõenäosus on 1/2, võivad sabad välja tulla alles 8. rullis.

Seetõttu on tõenäosus, et see rist ilmub viskele k:

Pk = 1 / 2k

Samuti on kasum 2k.

Arenguga jätkates näitavad esimese rulli esimesed sabad võitu 2¹ (2 dollarit) ja tõenäosus 1/2. 2. katse sabadel on võimendus 2² (4 dollarit) ja tõenäosus 1/2²; kui kolmandal katsel sabad on, on mängijal 2 võitu³ (8 dollarit) ja tõenäosus 1/2³. Nagu näeme, suhe, mis laieneb, kui lisame jooksu.

Enne jätkamist tuleb märkida, et otsustusteoorias nimetame matemaatilist ootust (EM) või mängu eeldatavat võitu auhindade summaks, mis on seotud iga võimaliku mängu tulemusega, ja neid kõiki kaalutakse nende tulemuste ilmnemise tõenäosus.

Kui arvestada seda paradoksi näitavat lähenemist, näeme, et mängides on tõenäosus võita 2 dollarit 1/2, kuid lisaks on tõenäosus võita 4 1/4, samas kui 8 dollari võit on 1/8. Seda seni, kuni on jõutud olukordadesse nagu 64 dollari võit, tõenäosus, et antud juhul on 1/64.

Seega, kui arvutame nende tulemustega matemaatilise ootuse või selle, mida me teame mängu eeldatava võiduna, peame lisama kõigi võimalike tulemuste võidud, mida on kaalutud nende esinemise tõenäosusega, nii et tulemus näitab meile lõpmatut arvu väärtus.

Kui järgime valikuteooriat, ütleb see meile, et peaksime panustama mis tahes summa selle lihtsa fakti eest, et iga otsus on meile soodne. Nüüd on tõsiasi, et see on paradoks, seetõttu, et ratsionaalselt ei mängi mängija lõputult panuseid, isegi kui teooria teda selleks sunnib.

Silmapaistev paradoks

Paljud on olnud matemaatikud, kes on üritanud lahti mõtestada Bernoulli pakutud paradoksi, kuid on ka palju neid, kes pole suutnud seda lahendada.

Seega on arvukalt näiteid, mis näitavad meile, kuidas paradoksi on püüdnud lahendada matemaatikud, kes on tegelenud nii mängu ülesehituse kui ka üksikisikute endi otsustega. Kuid siiani ei leia me endiselt kehtivat lahendust.

Ja selle paradoksi keerukuse kohta ettekujutuse saamiseks võtame selle näite valikuteooriat arvesse võttes võimaliku auhinnana pärast arvutamist lõpmatu arvu münte, mis isegi eeldades, et see on võimalik, oleks see kokkusobimatu rahasüsteemi endaga, kuna tegemist on rahaga, mis vastupidiselt paradoksi väidetele on piiratud.