Cholesky lagunemine on LU maatriksi lagunemise eriliik, mis pärineb inglise keelest Lower-Upper, mis koosneb maatriksi faktoriseerimisest kahe või enama maatriksi korrutiseks.
Teisisõnu seisneb Cholesky lagunemine maatriksi võrdsustamises, mis sisaldab sama arvu ridu ja veerge (ruutmaatriks), maatriksiga, mille põhidiagonaali kohal on nullid, korrutatuna põhidiagonaali all nullidega üle kantud maatriksiga.
LU lagunemist saab erinevalt Choleskyst rakendada erinevat tüüpi ruudukujulistele maatriksitele.
Cholesky lagunemise omadused
Cholesky lagunemine koosneb:
- Ülemine kolmnurkne ruutmaatriks: Ruutmaatriks, millel on ainult diagonaali all nullid.
- Alumine kolmnurkne ruutmaatriks: Maatriks, millel on ainult diagonaali kohal nullid.
Matemaatiliselt on positiivse kindla sümmeetrilise maatriksi olemasolu korral JA, siis eksisteerib madalam kolmnurkne sümmeetriline maatriks, K, sama mõõtmega nagu JA, mille tulemuseks on:
Ülaltoodud maatriks ilmub E. Cholesky maatriksina. See maatriks toimib maatriksi E ruutjuurena. Me teame, et ruutjuure domeen on:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Mis on määratletud kõigis mitte-negatiivsetes reaalarvudes. Nagu ruutjuur, eksisteerib ka Cholesky maatriks ainult siis, kui maatriks on poolpositiivne. Maatriks on poolpositiivne, kui suurematel alaealistel on positiivne või null determinant.
Cholesky lagunemine JA on diagonaalne maatriks, mis:
Näeme, et maatriksid on ruudukujulised ja sisaldavad nimetatud tunnuseid; esimese maatriksi põhidiagonaali kohal olev nullide kolmnurk ja transformeeritud maatriksis põhidiagonaali all olev nullide kolmnurk.
Cholesky lagunemisrakendused
Rahanduses kasutatakse seda sõltumatute normaalmuutujate realisatsioonide muutmiseks normaalseteks muutujateks, mis on korrelatsioonis vastavalt korrelatsioonimaatriksile JA.
Kui N on sõltumatute normaalsete vektor (0,1), siis järeldub, et Ñ on normide (0,1) vektor, mis on korreleeritud vastavalt JA.
Näide Cholesky lagunemisest
See on kõige lihtsam näide Cholesky lagunemisest, kuna maatriksid peavad olema ruudukujulised, antud juhul on maatriks (2 × 2). Kaks rida kahe veeru kaupa. Lisaks vastab see omadustele, kui nullid on põhidiagonaalist kõrgemal ja all. See maatriks on poolpositiivne, kuna suurtel alaealistel on positiivne determinant. Me määratleme:
Lahendamine: c2 = 4; b = c = -2; kuni2+ b2 = 5; meil on neli võimalikku Cholesky maatriksit:
Lõpuks arvutame (a, b, c) leidmiseks. Kui need üles leiame, on meil olemas Cholesky maatriksid. Arvestus on järgmine:
