Poissoni jaotus on diskreetne tõenäosusjaotus, mis modelleerib teatud sündmuste sagedust fikseeritud ajaintervallil nende sündmuste keskmise esinemissageduse põhjal.
Teisisõnu, Poissoni jaotus on diskreetne tõenäosusjaotus, mis saab teada nende tõenäosust ainult sündmusi ja nende keskmist esinemissagedust teades.
Poissoni jaotuse avaldis
Arvestades diskreetset juhuslikku muutujat X, ütleme, et selle sagedust saab rahuldavalt lähendada Poissoni jaotusele, nii et:
Erinevalt normaaljaotusest sõltub Poissoni jaotus ainult ühest parameetrist, mu (tähistatud kollasega).
Mu teatab määratud ajaintervalliga toimuvate sündmuste eeldatava arvu. Rääkides millestki "ootuspärasest", peame selle ümber mõtlema keskmisele mõeldes. Seetõttu on mu sündmuste sageduse keskmine.
Nii selle jaotuse keskmine kui ka variatsioon on väga rangelt positiivsed.
Esindamine
Arvestades Poissoni jaotust keskmisega 2, on tiheduse tõenäosuse jaotus järgmine:
Funktsioon on määratletud ainult x täisarvude korral.
Kõik Poissoni tiheduse tõenäosuse jaotused ei näe välja ühesugused, isegi kui valim jääb samaks. Kui muudame keskmist, see tähendab parameetrit, millest funktsioon sõltub, muutub ka funktsioon.
Tõenäosuse tiheduse funktsioon (pdf)
Selle funktsiooni all mõistetakse tõenäosust, et juhuslik muutuja X saab kindla väärtuse x. See on negatiivse keskmise eksponent, mis on korrutatud vaatluse jaoks tõstatatud keskmise ja jagatud vaatluse faktoriaaliga.
Nagu märgitud, peame iga vaatluse tõenäosuse teadmiseks asendama kõik funktsioonis olevad vaatlused. Teisisõnu on x dimensiooni n vektor, mis sisaldab kõiki juhusliku muutuja X vaatlusi. Keskmine oleks ka vektor, kuid ühe dimensiooniga, nii et:
Kui arvutatud tõenäosused on käes, saame koos vaatlustega joonistada tõenäosustiheduse jaotuse.
Lugu
Selle jaotuse nimi pärineb selle loojalt, prantsuse matemaatikult ja filosoofilt Siméon-Denis Poissonilt (1781-1840), kes soovis modelleerida sündmuste sagedust kindla ajaintervalli jooksul. Ta osales ka suurte arvude seaduse täiustamises.
Rakendus
Poissoni jaotust kasutatakse operatsiooniriski valdkonnas, et modelleerida olukordi, kus operatsioonikaod tekivad. Tururiski korral kasutatakse Poissoni protsessi ooteajaks finantstehingute vahel kõrgsageduslikes andmebaasides. Samuti võetakse pankrotide arvu modelleerimisel arvesse krediidiriski.
Näide
Eeldame, et oleme talvehooajal ja tahame enne detsembrit suusatama minna. Tõenäosus, et suusakeskused avatakse enne detsembrit, on 5%. 100 suusakuurordist soovime teada tõenäosust, et lähim suusakuurort avatakse enne detsembrit. Selle suusakuurordi hinnang on 6 punkti.
Poissoni tiheduse tõenäosuse funktsiooni arvutamiseks vajalikud sisendid on andmekogum ja mu:
- Andmekogum = 100 suusakuurorti.
- Mu = 5% * 100 = 5 on andmekogumit arvestades eeldatav suusakuurortide arv.
Seega on lähima jaama 14,62% tõenäosus, et see avatakse enne detsembrit.
Sageduse tõenäosus