Juhusliku muutuja X matemaatiline ootus on arv, mis väljendab selle muutuja esindatava nähtuse keskmist väärtust.
Matemaatiline ootus, mida nimetatakse ka eeldatavaks väärtuseks, võrdub juhusliku sündmuse olemasolu tõenäosuste summaga, mis on korrutatud juhusliku sündmuse väärtusega. Teisisõnu, see on andmekogumi keskmine väärtus. Seda, võttes arvesse, et matemaatilise ootuse mõiste on loodud tõenäosusteoorias.
Kui matemaatikas nimetatakse toimunud sündmuse keskmist väärtust matemaatiliseks keskmiseks. Diskreetsetes jaotustes, millel on igas sündmuses sama tõenäosus, on aritmeetiline keskmine sama, mis matemaatiline ootus.
Näide matemaatilisest ootusest
Vaatame selle mõistmiseks lihtsat näidet.
Kujutame ette münti. Kaks pead, pead ja saba. Milline oleks matemaatiline ootus (eeldatav väärtus), et see välja tuleb?
Matemaatiline ootus arvutatakse tõenäosusena, et münti väga palju kordi keerates kerkib see pähe.
Kuna münt saab maanduda ainult ühes neist kahest positsioonist ja mõlemal on sama tõenäosus välja tulla, siis ütleme, et matemaatiline ootus, et see tuleb peast välja, on üks kahest või mis on sama, 50% aeg.
Teeme testi ja keerame münti kümme korda. Oletame, et münt on täiuslik.
Keerutab ja tulemus:
- Kallis.
- Rist.
- Rist.
- Kallis.
- Rist.
- Kallis.
- Kallis.
- Kallis.
- Rist.
- Rist.
Mitu korda on see olnud pea (loeme C-d)? 5 korda Mitu korda on sabad välja tulnud (loeme X-id)? 5 korda. Peadeks saamise tõenäosus on 5/10 = 0,5 või protsentides 50%.
Kui see sündmus on aset leidnud, saame arvutada matemaatilise keskmise iga sündmuse toimumiste arvu kohta. Kallis külg on tulnud välja iga kahe korra tagant ehk 50% ajast. Keskmine vastab matemaatilisele ootusele.
Matemaatilise ootuse arvutamine
Matemaatiline ootus arvutatakse iga sündmuse tõenäosuse abil. Selle arvutuse vormistav valem on järgmine:
Kus:
- X = sündmuse väärtus.
- P = Juhtumise tõenäosus.
- i = Selle sündmuse toimumise periood.
- N = Perioodide või vaatluste koguarv.
Sündmuse toimumise tõenäosus ei ole alati sama, mis müntide puhul. On lugematu arv juhtumeid, kus üks sündmus tuleb suurema tõenäosusega välja kui teine. Seetõttu kasutame P. Valemis peame matemaatiliste arvude arvutamisel korrutama ka sündmuse väärtusega. Allpool näeme näidet.
Milleks kasutatakse matemaatilist ootust?
Matemaatilist ootust kasutatakse kõigil neil erialadel, kus tõenäosuslike sündmuste olemasolu on neile omane. Sellised erialad nagu teoreetiline statistika, kvantfüüsika, ökonomeetria, bioloogia või finantsturud. Suur hulk maailmas toimuvaid protsesse ja sündmusi on ebatäpsed. Selge ja kergesti mõistetav näide on aktsiaturu oma.
Aktsiaturul arvutatakse kõik eeldatavate väärtuste põhjal.Miks eeldatavad väärtused? Sest loodetavasti see juhtub, kuid me ei saa seda kinnitada. Kõik põhineb tõenäosustel, mitte kindlustel. Kui vara eeldatav väärtus või matemaatiline ootus on 10% aastas, tähendab see, et minevikus oleva teabe põhjal on kõige tõenäolisem, et tootlus on jälle 10%. Kui arvestame investeerimisotsuste langetamise meetodina muidugi ainult matemaatilist ootust.
Finantsturu teooriates kasutavad paljud seda matemaatilise ootuse mõistet. Nende teooriate hulgas on see, mille Markowitz töötas välja tõhusatel rahakottidel.
Arvudes, palju lihtsustades, oletame, et finantsvara tootlus on järgmine:
Tasuvus 1., 2., 3. ja 4. aastal.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Eeldatav väärtus oleks tulude summa, mis korrutatakse nende toimumise tõenäosusega. Iga kasumlikkuse "juhtumise" tõenäosus on 0,25. Meil on neli vaatlust, neli aastat. Igal aastal on neil sama kordumise tõenäosus.
Lootus = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Võttes arvesse seda teavet, ütleme, et vara tootluse ootus on 11,25%.
Oodatav eluiga