Funktsionaalsed võrrandid on need, millel on veel üks tundmatu funktsioon. Funktsioon, mida saab seostada algebralise toiminguga nagu liitmine, lahutamine, jagamine, korrutamine, võimsus või juur.
Ka funktsionaalseid võrrandeid saab määratleda kui neid, mida ei ole nende lahutusvõimaluste jaoks lihtne taandada algebraliseks funktsiooniks, tüüpi f (x) = 0.
Funktsionaalvalemeid iseloomustatakse seetõttu, et nende lahendamiseks pole ühte kindlat viisi. Lisaks võib kõnealune muutuja võtta erinevaid väärtusi (näeme seda koos näidetega).
Funktsionaalsete võrrandite näited
Mõned näited funktsionaalsetest võrranditest on:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ ja2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Sellistel juhtudel nagu eelmised, võib lisada näiteks, et x kuulub reaalarvude hulka, see tähendab x ∈ R (nulli saab välistada).
Funktsionaalsete võrrandite näited
Vaatame mõningaid näiteid lahendatud funktsionaalsetest võrranditest:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Nii et kui ma asendan x 1/2x-ga:
f (1/2 (1/2x)) = (1/2x) -3f (1/2x)
f (x) = (1/2x) -3f (1/2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Vaatame nüüd veidi raskemini mõnda teist näidet, kuid kus me jätkame sarnaselt:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
Sel juhul lahendame kõigepealt f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Nüüd asendan x võrrandiga 1 väärtusega 5-x:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25–10x + x2f. (5-x) -f (x) = 15-3x
Mäletame, et f (5-x) on võrrandis 2:
(25–10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchy funktsionaalne võrrand
Cauchy funktsionaalne funktsioon on omasuguste seas üks põhilisemaid. Sellel võrrandil on järgmine vorm:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Eeldades, et x ja y on ratsionaalsete arvude kogumis, ütleb selle võrrandi lahendus meile, et f (x) = cx, kus c on mis tahes konstant ja sama juhtub ka f (y) -ga.